Question

（2006•朝阳区二模）设对于任意实数x、y，函数f（x）、g（x）满足f（x+1）=[1/3]f（x），且f（0）=3

Answer 1

（Ι）取 x=n，则f（n+1）=[1/3]f（n）．

取x=0，得f（1）=[1/3]f（0）=1．．

故{f（n）}是首项为1，公比为[1/3]的等比数列，∴f（n）=(

1

3)n−1．

取x=n，y=1，得g（n+1）=g（n）+2 （n∈N^*）．

即g（n+1）-g（n）=2．∴g（n）公差为2的等差数列．

又g（5）=13因此g（n）=13+2（n-5）=2n+3

即g（n）=2n+3 …（4分）

（ΙΙ）c_n=g[[n/2f(n)]=g[

n

2•(

1

3)n−1]=n(

1

3)n−1+3．

∴S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1+2•(

1

3)+3(

1

3)2+…+n(

1

3)n−1+3n，

1

3]S_n=1•

1

3+2•(

1

3)2+3(

1

3)3+…+n(

1

3)n+n，两式相减得，

[2/3]S_n=1+(

1

3)+(

1

3)2+…+(

1

3)n−1−n(

1

3)n+2n

=

1−(

1

3)n

1−

1

3−n(

1

3)n+2n

=

3

2[1−(

1

3)n]−n(

1

3)