Question

求函数f（x）=tan2x+2atanx+5，x∈[π4，π2)的值域（其中a为常数）．

Answer 1

解题思路：由条件可得tanx≥1．令 tanx=t≥1，则函数f（x）=h（t）=t²+2at+5，对称轴为 t=-a，分a≥-1和a＜-1两种情况，分别利用二次函数的性质求出原函数值域．

∵x∈[

π

4，

π

2)，∴tanx≥1．令 tanx=t≥1，则函数f（x）=h（t）=t²+2at+5，对称轴为 t=-a，

当a≥-1时，-a≤1，t=1时，函数 h（t）有最小值为6+2a，原函数值域为[6+2a，+∞）．

当a＜-1时，-a＞1，t=-a 时，函数 h（t）有最小值为 5-a²，原函数值域为[5-a²，+∞）．

点评：

本题考点： 三角函数的最值；正切函数的值域．

考点点评： 本题主要考查正切函数的定义域和值域，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想．