已知a是正整数,如果关于x的方程x^3+(a+17)x^2+(38--a)x--56=0的根都是整数,求a的值及方程的整

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  • 设方程x^3+(a+17)x^2+(38--a)x--56=(x+m)(x+n)(x+p)=x^3+(m+n+p)x^2+

    (mn+mp+np)x+mnp(其中m、n、p都是整数),

    两边对比系数得:m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,mnp=-56

    因为-56=-1*2*28=-1*4*14=-1*7*8=-2*2*14=-2*4*7=-1*(-2)*(-28)=-1*(-4)*(-14)=

    -1*(-7)*(-8)=-2*(-2)*(-14)=-2*(-4)*(-7)且mnp=-56

    所以可以令:

    1.m=-1,n=2,p=28,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,解得a=12

    所以方程的整数跟为1,-2,-28

    2.m=-1,n=4,p=14,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,解得a=0

    所以方程的整数跟为1,-4,-14

    3.m=-1,n=7,p=8,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,解得a=-3

    所以方程的整数跟为1,-7,-8

    4.m=-2,n=2,p=14,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,此时a无解

    5.m=-2,n=4,p=7,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,此时a无解

    6.m=-1,n=-2,p=-28,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,此时a无解

    7.m=-1,n=-4,p=-14,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,解得a=-36

    所以方程的整数跟为1,4,14

    8.m=-1,n=-7,p=-8,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,解得a=-33

    所以方程的整数跟为1,7,8

    9.m=-2,n=-2,p=-14,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,此时a无解

    10.m=-2,n=-4,p=-7,将其带入m+n+p=a+17,mn+mp+np=38-a,此时a无解