Question

已知f（x）=ex-1-x-ax2，当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围

Answer 1

令g（x）=e^x-1-x，g′（x）=e^x-1．

当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．

故g（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加．

∴g（x）≥g（0）=0，

∴e^x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．

∵f′（x）=e^x-1-2ax，

∴f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，

从而当1-2a≥0，即a≤[1/2]时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，

于是当x≥0时，f（x）≥0．

由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（x≠0）．

从而当a＞[1/2]时，f′（x）＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），

故当x∈（0，ln2a）时，f′（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．

综合得a的取值范围为（-∞，[1/2]]．