如图,△ABC中,E是AC上一点,且AE=AB,∠EBC=[1/2]∠BAC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,交EB于点

1个回答

  • 解题思路:(1)首先连接AF,由AB为直径,根据圆周角定理,可得∠AFB=90°,又由AE=AB,∠EBC=[1/2]∠BAC,根据等腰三角形的性质,可得∠BAF=∠EBC,继而证得BC与⊙O相切;

    (2)首先过E作EG⊥BC于点G,由三角函数的性质,可求得BF的长,易证得△CEG∽△CAB,然后由相似三角形的对应边成比例,求得答案.

    (1)证明:连接AF.

    ∵AB为直径,

    ∴∠AFB=90°.

    ∵AE=AB,

    ∴△ABE为等腰三角形.

    ∴∠BAF=[1/2]∠BAC.

    ∵∠EBC=[1/2]∠BAC,

    ∴∠BAF=∠EBC,

    ∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°.

    ∴∠ABC=90°.

    即AB⊥BC,

    ∴BC与⊙O相切.

    (2)过E作EG⊥BC于点G,

    ∵∠BAF=∠EBC,

    ∴sin∠BAF=sin∠EBC=[1/4].

    在△AFB中,∠AFB=90°,

    ∵AB=8,

    ∴BF=AB•sin∠BAF=8×[1/4]=2,

    ∴BE=2BF=4.

    在△EGB中,∠EGB=90°,

    ∴EG=BE•sin∠EBC=4×[1/4]=1,

    ∵EG⊥BC,AB⊥BC,

    ∴EG∥AB,

    ∴△CEG∽△CAB,

    ∴[CE/CA=

    EG

    AB].

    ∴[CE/CE+8=

    1

    8],

    ∴CE=[8/7],

    ∴AC=AE+CE=8+[8/7]=[64/7].

    点评:

    本题考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.