解题思路:(1)首先连接AF,由AB为直径,根据圆周角定理,可得∠AFB=90°,又由AE=AB,∠EBC=[1/2]∠BAC,根据等腰三角形的性质,可得∠BAF=∠EBC,继而证得BC与⊙O相切;
(2)首先过E作EG⊥BC于点G,由三角函数的性质,可求得BF的长,易证得△CEG∽△CAB,然后由相似三角形的对应边成比例,求得答案.
(1)证明:连接AF.
∵AB为直径,
∴∠AFB=90°.
∵AE=AB,
∴△ABE为等腰三角形.
∴∠BAF=[1/2]∠BAC.
∵∠EBC=[1/2]∠BAC,
∴∠BAF=∠EBC,
∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°.
∴∠ABC=90°.
即AB⊥BC,
∴BC与⊙O相切.
(2)过E作EG⊥BC于点G,
∵∠BAF=∠EBC,
∴sin∠BAF=sin∠EBC=[1/4].
在△AFB中,∠AFB=90°,
∵AB=8,
∴BF=AB•sin∠BAF=8×[1/4]=2,
∴BE=2BF=4.
在△EGB中,∠EGB=90°,
∴EG=BE•sin∠EBC=4×[1/4]=1,
∵EG⊥BC,AB⊥BC,
∴EG∥AB,
∴△CEG∽△CAB,
∴[CE/CA=
EG
AB].
∴[CE/CE+8=
1
8],
∴CE=[8/7],
∴AC=AE+CE=8+[8/7]=[64/7].
点评:
本题考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质.
考点点评: 此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.