Question

(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 利用因式定理和待定系数法分解因式.因式（a+b)(b+c)(c+a)的,剩下

Answer 1

(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5

令f﹙a﹚＝ (a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5

则 f﹙﹣b﹚＝c^5＋b^5－b^5－c^5＝0

∴a＋b是多项式(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5的一个因式

同理：易得：b＋c 是多项式(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5的一个因式

a＋c是多项式(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5的一个因式

设 (a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5

＝﹙a＋b﹚﹙a＋c﹚﹙b＋c﹚×[﹙a²＋b²＋c²﹚x+﹙ab＋ac＋bc﹚y]

得x＝y＝5

∴ (a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 ＝5﹙a＋b﹚﹙a＋c﹚﹙b＋c﹚﹙a²＋b²＋c²＋ab＋bc＋ac﹚