Question

已知直线l1：mx-y=0，l2：x+my-m-2=0

Answer 1

解题思路：（1）对于任意实数m，l₂：x+my-m-2=0恒过定点，则与m的取值无关，转化为（x-2）+m（y-1）=0让m的系数为零、x-2=0即可得到直线l₂恒过定点，以及定点坐标；

（2）联立两条直线方程，消去m，即得到l₁和l₂的交点M的方程，判断M总在一个定圆上即可；

（3）通过l₁与定圆的另一个交点为P₁，l₂与定圆的另一个交点为P₂，利用（2）说明P₁P₂是圆C的直径，

当且仅当圆心C（1，[1/2]）到l₁的距离等于C到l₂的距离时，△MP₁P₂面积取得最大值，利用点到直线的距离公式列出m的关系式，求出m即可得到直线l₁的方程．

（1）方程l₂：x+my-m-2=0可化为（x-2）+m（y-1）=0

∵对于任意实数m直线l₂：x+my-m-2=0 恒过定点

∴

x−2＝0

y−1＝0

∴故定点坐标是（2，1）．

（2）由题意可得

mx−y＝0

x+my−m−2＝0，消去m可得x²+y²-2x-y=0，方程表示圆，即M总在一个定圆上．

（3）由圆C的方程以及直线l₁，l₂的方程可知，直线l₁恒过（0，0）点，

直线l₂恒过（2，1）点，也在圆C上，

故直线l₁，l₂的与圆C的另一个交点P₁（0，0），P₂（2，1），P₁P₂是圆C的直径，

当且仅当圆心C（1，[1/2]）到l₁的距离等于C到l₂的距离时，△MP₁P₂面积取得最大值，

所以

|m−

1

2|

m2+1＝

|

1

2m+1|

m2+1，所以m=3或m=−

1

3，

所以直线l₁：3x-y=0或x+3y=0．

点评：

本题考点： 与直线有关的动点轨迹方程；恒过定点的直线；圆的标准方程；直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解，曲线轨迹方程的求法，三角形的面积的最值的判断，考查计算能力，转化思想的应用．