Question

经过椭圆x22+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长．

Answer 1

解题思路：求出椭圆的左焦点F₁（-1，0），根据点斜率式设AB，方程与椭圆方程消去y，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦AB的长．

∵椭圆方程为

x2

2+y²=1，

∴焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），

∵直线AB过左焦点F₁倾斜角为60°，

∴直线AB的方程为y=

3（x+1），

将AB方程与椭圆方程消去y，得7x²+12x+4=0

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得

x₁+x₂=-[12/7]，x₁x₂=[4/7]

∴|x₁-x₂|=

(−

12

7)2−4×

4

7=

4

2

7

因此，|AB|=

1+3•|x₁-x₂|=

8

2

7．

点评：

本题考点： 椭圆的简单性质．

考点点评： 本题给出椭圆经过左焦点且倾角为30度的弦AB，求弦长．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．