Question

设点P是曲线C：x 2 =2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为 5 4 ．

Answer 1

（1）依题意，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为

5

4 ．

∴1+

p

2 =

5

4 ，解得p=

1

2 ．

所以曲线C的方程为x ²=y．…（4分）

（2）由题意直线PQ的方程为：y=k（x-1）+1，则点M（1-

1

k ，0）

联立方程组

y=k(x-1)+1

y= x 2 ，消去y得x ²-kx+k-1=0

解得Q（k-1，（k-1） ²）．…（6分）

所以得直线QN的方程为y-（k-1） ²）= -

1

k (x-k+1) ．

代入曲线x ²=y，得 x 2 +

1

k x-1+

1

k -(1-k ) 2 =0 ．

解得N（ 1-

1

k -k ， (1-

1

k -k ) 2 ）．…（8分）

所以直线MN的斜率k _MN=

(1-

1

k -k) 2

1-

1

k -k-1+

1

k =-

(1-

1

k -k) 2

k ．…（10分）

∵过点N的切线的斜率 k′=2(1-

1

k -k) ．

∴由题意有-

(1-

1

k -k) 2

k = 2(1-

1

k -k) ．

∴解得 k=

-1±

5

2 ．

故存在实数 k=

-1±

5

2 使命题成立．…（12分）