解题思路：（1）先求导数，由f′（1）=f′（2），即可得到a的值可求出f′（1），进而得到函数函数f（x）的解析式，得到f（1），则函数在x=1处的切线的方程可求出；
（2）先设x1，x2为方程f′（x）=0的两个实数根，由韦达定理得到
x
1
+
x
2
=
1
2a
，
x
1
x
2
=
1
2a
，由于f（x）的极大值和极小值分别为m，n，可求出参数a的范围，将m+n=f（x1）+f（x2）整理为
lna+
1
4a
+ln2+1
，进而求出
lna+
1
4a
+ln2+1
＞3-2ln2，即得证．
（1）f′(x)=-
2ax2-x+1
x
∵f′（1）=f′（2），
∴-2a=
8a-1
2，即a=
1
4
∴f(x)=-lnx-
1
4x2+x
∴f(1)=
3
4，f′(1)=-
1
2
∴f（x）图象在x=1处的切线的方程为y-
3
4=-
1
2(x-1)，即2x+4y-5=0；
（2）设x1，x2为方程f′（x）=0的两个实数根，
则x1+x2=
1
2a，x1x2=
1
2a
由题意得：
△=1-8a＞0
x1+x2＞0
x1x2＞0⇒0＜a＜
1
8
则m+n=f(x1)+f(x2)=-lnx1-ax12+x1-lnx2-ax22+x2
=-lnx1x2-a[(x1+x2)2-2x1x2]+x1+x2=lna+
1
4a+ln2+1
令g(a)=lna+
1
4a+ln2+1，则g′(a)=
4a-1
4a2，
故当0＜a＜
1
8
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，同时考查了导数的几何意义，以及学生灵活转化题目条件的能力，是个中档题．