点A(-1,0)、B(3,0)的坐标分别代入抛物线方程y=ax²+bx+c,得
0=a-b+c,0=9a+3b+c,联立解得：b=-2a,c=-3a.于是抛物线方程为
y=ax²-2ax-3a,即y=a(x-3)(x+1),亦即y=a[(x-1)²-4],
（1）
令x=0,得y=-3a,所以C(0,-3a),
y=a[(x-1)²-4]当且仅当x=1取得极值,D(1,-4a).
（2）
设Q为BD中点,易得Q(2,-2a),而|QB|²=(3-2)²+(0+2a)²=4a²+1,
所以以Q为圆心,BD为直径的圆的方程为(x-2)²+(y+2a)²=4a²+1,
C(0,-3a)的坐标代入圆的方程,得a=±1,所以抛物线的解析式有两个：
y==±(x-3)(x+1),亦即y=±[(x-1)²-4],
一般式y=x²-2x-3,y=-x²+2x+3.是一对关于x轴对称的抛物线.
（3）
以BD为直径的圆M恰好过点C,ΔP(即C)BD是一以BD为斜边的直角三角形；
有没有以BD为直角边的直角三角形呢?
当a=1时,
直线BD的斜率为(0+4a)/(3-1)=2,垂直于BD的直线的斜率为-1/2,
过B垂直于BD的直线方程为：y-0=-1/2(x-3),即x+2y-3=0
和抛物线方程y=x²-2x-3联立,解得P11(3,0)、P12(-3/2,3/4)
过D垂直于BD的直线方程为：y+4=-1/2(x-1),即x+2y+7=0
和抛物线方程y=x²-2x-3联立,解得P13(1,-4)、P14(1/2,-15/4)
当a=-1时,因为y=x²-2x-3,y=-x²+2x+3是一对关于x轴对称的抛物线,所以
上述各点关于x轴的对称点作为P点,均可使ΔPBD成为直角三角形.
所以可使ΔPBD成为直角三角形的P点有（10-1）个.P10=C(0,-3),P11(3,0)、P12(-3/2,3/4)、P13(1,-4)、P14(1/2,-15/4)；P20=C(0,3),P21(3,0)、P22(-3/2,-3/4)、P23(1,4)、P24(1/2,15/4),其中P11(3,0)、P21(3,0)重合.