Question

如图：假设三角形数表中的第n行的第二个数为an（n≥2，n∈N*）

Answer 1

解题思路：（1）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有an+1=an+n（n≥2），再由累加法求解．（2）由anbn=1，解得 bn＝2n2−n+2＜2n2−n＝2(1n−1−1n)再由裂项相消法证明．

（1）依题意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2…（2分）

所以：a₃-a₂=2a₄-a₃=3，a_n-a_n-1=n

累加得an−a2＝2+3+…+(n−1)＝

(n+1)(n−2)

2…（4分）

所以an＝

n2

2−

n

2+1（n＞2）

当n=2时a2＝

1

2×22−

1

2×2+1＝2，也满足上述等式 …（5分）

故an＝

n2

2−

n

2+1…（6分）

（2）因为a_nb_n=1，所以bn＝

1

an＝

2

n2−n+2＜

2

n2−n＝2(

1

n−1−

1

n)…（5分）

所以b₂+b₃+…+bn＜2[(

1

1−

1

2)+(

1

2−

1

3)+…+(

1

n−1−

1

n)]=2(1−

1

n)＜2

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；归纳推理．

考点点评： 本题通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，还考查了数列间的关系，入题较难，知识点，方法活，属中档题．