Question

正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长相等，M是CC1的中点，则直线AB1和BM所成的角的大小是（　　）

Answer 1

解题思路：设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长等于2，延长MC₁到N使MN=BB₁，连接AN．可得∠AB₁N（或其补角）就是异面直线AB₁和BM所成角，然后在△AB₁N中分别算出三条边的长，利用余弦定理得cos∠AB₁N=0，可得∠AB₁N=90°，从而得到异面直线AB₁和BM所成角．

设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长等于2，延长MC₁到N使MN=BB₁，连接AN，

∵MN∥BB₁，MN=BB₁，

∴四边形BB₁NM是平行四边形，可得B₁N∥BM

因此，∠AB₁N（或其补角）就是异面直线AB₁和BM所成角

∵Rt△B₁C₁N中，B₁C₁=2，C₁N=1，

∴B₁N=

5，

∵Rt△ACN中，AC=2，CN=3，∴AN=

13，

又∵正方形AA₁B₁B中，AB₁=2

2，

∴△AB₁N中，cos∠AB₁N=

AB12+B1N2−AN2

2AB1×B1N=

8+5−13

4

2×

5=0，可得∠AB₁N=90°

即异面直线AB₁和BM所成角为90°．

故选D．

点评：

本题考点： 异面直线及其所成的角．

考点点评： 本题考查了在所有棱长均相等的正三棱柱中，求异面直线所成的角大小，着重考查了正三棱柱的性质、余弦定理和异面直线所成角求法等知识，属于基础题．