Question

证明：n^13-n(n是正整数）能被2730整除

Answer 1

这里用到费马小定理

费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为:

假如p是质数,且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1(mod p)

2730=2*3*5*7*13

n^13-n = n(n-1)(n+1)(n^4 + n^2+1)(n^6 + 1) 而n(n-1)(n+1)可以被6整除,故原式可以被2*3整除.

n^13-n = n(n^4 - 1)(n^8 + n^4 + 1) 由费马小定理知,(n^4 - 1)可以被5整除,故原式可以被5整除.

n^13-n = n(n^6 - 1)(n^6 + 1) 由费马小定理知,(n^6 - 1)可以被7整除,故原式可以被7整除.

n^13-n = n(n^12 - 1) 由费马小定理知,(n^12 - 1)可以被13整除,故原式可以被13整除.

所以,原式可以被2*3*5*7*13=2730整除.