已知函数f(x)=2x^2 g(x)=alnx (a>0)

1个回答

  • 1、

    ∵L与C有两个交点

    ∴L不可能与x轴垂直,即L有斜率

    设:A(x1y,1),B(x2,y2),M(x3,x3)

    L:y=kx+b,

    L’:y=kx+c,

    联立y=kx+b和y=f(x)=2x²

    得:2x²-kx-b=0

    ∴x1+x2=k/2…………①

    f’(x)=4x

    ∵L’在M处的斜率为k

    ∴f’(x3)=4x3=k

    ∴x3=k/4…………②

    由①②,得:

    x1+x2=2x3

    ∴x1、x3、x2成等差数列.

    2、

    令h(x)=f(x)-g(x)=2x²-alnx , x>0

    h’(x)=4x - a/x= (4x²-a)/x

    令h’(x)≥0,则x≥√a/2,即h(x)在[√a/2,+∞)上单调递增

    同理:h(x)在(0,√a/2)上单调递减

    ∴当x=√a/2时,h(x)在(0,+∞)上取最小值.

    ∴h(x)min = h(√a/2)= 2×(√a/2)² - aln(√a/2) = a/2 - aln(√a/2)

    要使f(x)≥g(x)恒成立

    则h(x)=f(x)-g(x)≥0恒成立

    即:h(x)min= a/2 - aln(√a/2)≥0 恒成立

    a/2 - aln(√a/2)≥0

    aln(√a/2)≤a/2

    ln(√a/2)≤1/2

    √a/2≤e^(1/2) = √e

    ∴0<a≤4e