Question

在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且cosA=[4/5]，[sinB/sinA]=[b/2]，则△

Answer 1

解题思路：由正弦的可得：sinBsinA＝ba，又sinBsinA=b2，可得a=2．由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA，再利用基本不等式可得bc≤10．由cosA=45，利用平方关系可得sinA=1−cos2A．再利用S△ABC=12bcsinA即可得出．

在△ABC中，由正弦的可得：[sinB/sinA＝

b

a]，∵[sinB/sinA]=[b/2]，∴[b/a＝

b

2]，解得a=2．

由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，

∴2²=b2+c2−

8

5bc≥2bc−

8

5bc=[2/5bc，化为bc≤10．当且仅当b=c=

10]时取等号．

∵cosA=[4/5]，∴sinA=

1−cos2A=[3/5]．

∴S_△ABC=[1/2bcsinA=

3

10bc≤

3

10×10=3，当且仅当b=c=

10]时取等号．

∴△ABC的面积S的最大值为3．

故答案为：3．

点评：

本题考点： 余弦定理；三角形的面积公式．

考点点评： 本题考查了正弦定理和余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．