如图,在直角三角形ABC和直角三角形ADE中,AB=AC,AD=AE,CE与BD交于点M,BD交AC于N.

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  • 解题思路:①根据直角三角形性质得出∠BAC=∠EAD=90°,推出∠BAD=∠EAC,根据SAS证△BAD≌△CAE,推出BD=CE即可;②根据全等三角形的性质推出∠AEC=∠ADB,根据∠1+∠AEC=90°推出∠2+∠ADB=90°,求出∠DME=90°,根据垂直定义求出即可;③延长DB交CE于F,根据SAS证△BAD≌△CAE,推出BD=CE,∠AEC=∠ADB,求出∠3+∠AEC=90°,求出∠5=90°,根据垂直定义求出即可.

    ①证明:∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,

    ∴∠BAC=∠EAD=90°,

    ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,

    即∠BAD=∠EAC,

    ∵在△BAD和△CAE中

    BA=AC

    ∠BAD=∠CAE

    AE=AD,

    ∴△BAD≌△CAE(SAS),

    ∴BD=CE;

    ②证明:∵△BAD≌△CAE,

    ∴∠AEC=∠ADB,

    ∵∠EAD=90°,

    ∴∠1+∠AEC=90°,

    ∵∠1=∠2,

    ∴∠2+∠ADB=90°,

    ∴∠DME=180°-90°=90°,

    ∴BD⊥CE;

    ③当三角形ABC绕点A顺时针方向旋转到如图②的位置时,上述结论还成立,

    理由是:延长DB交CE于F,

    ∵在△BAD和△CAE中

    AC=AB

    ∠CAE=∠BAD=90°

    AE=AD,

    ∴△BAD≌△CAE(SAS),

    ∴BD=CE,∠AEC=∠ADB,

    ∵∠EAD=90°,

    ∴∠4+∠ADB=90°,

    ∵∠3=∠4,

    ∴∠3+∠AEC=90°,

    ∴∠5=180°-90°=90°,

    ∴BD⊥CE,

    即当三角形ABC绕点A顺时针方向旋转到如图②的位置时,上述结论还成立.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

    考点点评: 本题考查了全等三角形的性质和判定,垂直定义,三角形的内角和定理等知识点,通过做此题培养了学生的猜想能力和推理能力,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目.