解题思路：（1）根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式．
（2）①首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比较即可得证；
②首先表示RF的长，若△PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR，列式求解即可；
③根据①的思路，不难看出QF=QS，若连接SF、RF，那么△QSF、△PRF都是等腰三角形，先用∠SQF、∠RPF表示出∠DFS、∠RFP的和，用180°减去这个和值即可判断出△RSF的形状．
（1）∵抛物线的顶点为坐标原点，
∴A、D关于抛物线的对称轴对称；
∵E是AB的中点，
∴O是矩形ABCD对角线的交点，又B（2，1）
∴A（2，-1）、D（-2，-1）；
由于抛物线的顶点为（0，0），可设其解析式为：y=ax2，则有：
4a=-1，a=-[1/4]
∴抛物线的解析式为：y=-[1/4]x2．
（2）①证明：由抛物线的解析式知：P（a，-[1/4]a2），而R（a，1）、F（0，-1），
则：PF=
(a−0)2+(−
1
4a2+1)2=
1
16a4+
1
2a2+1=[1/4]a2+1，PR=1-（-[1/4]a2）=[1/4]a2+1．
∴PF=PR．
②由①得：RF=
a2+4；
若△PFR为等边三角形，则RF=PF=PR，得：
a2+4=[1/4]a2+1，即：[1/16]a4-[1/2]a2-3=0，得：
a2=-4（舍去），a2=12；
∴a=±2
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 该题考查了二次函数的性质及解析式的确定、矩形的性质、特殊三角形的判定等知识，综合性较强．在解答题目时，要注意数形结合，并灵活应用前面小题中证得的结论．