解题思路:(1)要证明无论k为何值时,方程总有两个不相等的实数根,就是证明△>0,而△=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=1,所以△>0;
(2)要得到△ABC是以BC为斜边的直角三角形,即要有BC2=AC2+AB2,然后根据根与系数的关系用k表示AC2+AC2,得到k的方程,解方程,再根据题意取舍即可.
(1)证明:∵△=(2k+3)2-4(k2+3k+2)=1,
∴△>0,
∴无论k取何值时,方程总有两个不相等的实数根;
(2﹚当△ABC是以BC为斜边的直角三角形时,有AB2+AC2=BC2
又∵BC=5,两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根.
∴AB2+AC2=25,AB+AC=2k+3,AB•AC=k2+3k+2,
由(AB+AC)2-2AB•AC=25
∴(2k+3)2-2•(k2+3k+2)=25
∴k2+3k-10=0,(k-2)(k+5)=0,
∴k1=2或k2=-5
又∵AB+AC=2k+3>0
∴k2=-5舍去
∴k=2.
点评:
本题考点: 根的判别式;勾股定理的逆定理.
考点点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2-4ac.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.同时考查了勾股定理的逆定理和一元二次方程的解法.