Question

如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长都为a，底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，侧棱A1A⊥平面ABCD

Answer 1

解题思路：（1）连结BD，易证BD⊥平面ACC₁A₁，而NA∥BD，从而有NA⊥平面ACC₁A₁，由面面垂直的判定定理即可证得平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；

（2）三棱锥C₁-ABF的体积，直接求解即可．

（1）证明：（如上图）连结BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，可知：A₁A⊥平面ABCD，

又∵BD⊂平面ABCD，

∴A₁A⊥BD．

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD．

又∵AC∩A₁A=A，AC、A₁A⊂平面ACC₁A₁，

∴BD⊥平面ACC₁A₁．…（7分）

而NA∥BD，

∴NA⊥平面ACC₁A₁．

又∵NA⊂平面AFC₁，

∴平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁…（9分）

（2）∵∠DAB=60°，∴C到AB的距离为：asin60°=

3

2a，就是C₁到平面ABF的距离，AD=AA₁=a，

∴三棱锥A₁-AC₁F的体积：

1

3×

1

2AB•BF•

3

2a=

1

3×

1

2×a×

1

2a×

3

2a=

3

24a3…（12分）

点评：

本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面平行的判定，考查平面与平面垂直的判断及棱锥的体积，考查推理分析与运算能力，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题．