Question

已知椭圆 (a＞b＞0)的右焦点为F 2 (3，0)，离心率为e，

Answer 1

已知椭圆

(a＞b＞0)的右焦点为F ₂(3，0)，离心率为e，

(1)若e=

，求椭圆的方程；

(2)设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF ₂，BF ₂的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且

，求k的取值范围。

(1)由题意得

，得

，所以a ²=12，

结合a ²=b ²+c ²，解得b ²=3，

所以，椭圆的方程为

。

(2)由

得(b ²+a ²k ²)x ²-a ²b ²=0，

设A(x ₁，y ₁)，B(x ₂，y ₂)，所以x ₁+x ₂=0，

，

依题意知，OM⊥ON，

易知，四边形OMF ₂N为矩形，所以AF ₂⊥BF ₂，

因为

，

所以

(x ₁-3)(x ₂-3)+y ₁y ₂=(1+k ²)x ₁x ₂+9=0，

即

，

将其整理为

，

因为

，

所以

，

所以

，即

。