Question

求直线分面公式的证明1条直线能把1个圆分成两份,2条能分成4份,3条能分成7份.n条直线能分成[n(n+1)/2]+1份

Answer 1

设n条直线把圆分成a(n)份,则第n+1条直线最多可以与其余n条直线交与不同的n个点,加上与圆周的两个交点,在第n+1条直线上可形成n+2个点,故可形成n+1条线段,这n+1条线段可将原区域一分为2,故比之前的区域多出n+1份,

即a(n+1)-a(n)=n+1,

a(n)-a(n-1)=n,

a(n-1)-a(n-2)=n-1,

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a(2)-a(1)=2,

用累加法,可得a(n)=[n(n+1)/2]+1