假设正六边形为ABCDEF,中心为O,连OA、OB,则OAB为等边三角形.做OD垂直AB于D,则
∠AOD＝30度,即OD＝cos30＊OA＝Rcos30
注意到OD恰是新圆的半径,于是我们得到新圆与原圆的面积比为半径比的平方,即
（Rcos30）＾2：R＾2＝3/4
因此圆面积的数列为首项R＾2,公比3/4的等差数列
故Lim（ ∞）Sn =首项/（1－公比）＝4R＾2
如图,在半径为r的园内做内接正六边形,再做正六边形的内切圆,又在此内切圆内做内接正六边形,
假设正六边形为ABCDEF,中心为O,连OA、OB,则OAB为等边三角形.做OD垂直AB于D,则
∠AOD＝30度,即OD＝cos30＊OA＝Rcos30
注意到OD恰是新圆的半径,于是我们得到新圆与原圆的面积比为半径比的平方,即
（Rcos30）＾2：R＾2＝3/4
因此圆面积的数列为首项R＾2,公比3/4的等差数列
故Lim（ ∞）Sn =首项/（1－公比）＝4R＾2