Question

在△ABC中,点O是△内部1点,且∠ABO=∠ACO,作OQ⊥AB,OP⊥AC,交AB,AC于点Q,P,M是BC中点,连

Answer 1

中点,连接MQ,MP,请证明MQ=MP

证明：取OB中点N、取OC中点F,连接QN、MN、MF、PF

因为：M为BC中点,N为OB中点,F为OC中点（根据△中位线定理）,则：

MN‖OC ；MN =1/2OC； MF‖OB ；MF＝1/2OB

故：四边形NMFO为平行四边形,故：∠ONM＝∠OFM

又：OQ⊥AB OP⊥AC 故：QN为Rt△OQB斜边OB上的中线；PF为Rt△OPC斜边OC上的中线

故：QN＝ON＝NB＝1/2OB ；PF＝OF＝CF＝1/2OC

故：∠OBQ＝∠BQN ；∠OCP＝∠CPF； MN＝PF＝OF＝CF＝1/2OC； MF＝QN＝ON＝NB＝1/2OB

又：∠QNO＝∠OBQ＋∠BQN＝2∠OBQ ∠OFP＝∠OCP＋∠CPF＝2∠OCP

又：∠OBA（即：∠OBQ ）=∠OCA（即：∠OCP） （已知）

故：∠QNO＝∠OFP

又：∠QNM＝∠QNO＋∠ONM ；∠PFM＝∠OFP＋∠OFM

故：∠QNM＝∠PFM

又：MN＝PF； QN＝MF （已证）

故：△NQM≌△FMP（SAS）

故：MQ=MP