第一个,假设n不是2的幂次,不妨记n=p2^s,p>=3是奇数,则有2^(p2^s)-1
显然由因式分解知(2^p-1)|2^(p2^s)-1,这与2^n+1是质数矛盾,故n是2的幂次.
第二个,
假设n不是质数,
当n=1时,显然2-1=1不是质数,矛盾,当n>1时.记n=pq,其中p,q>1,
则由因式分解知,(2^p-1)|2^n-1或(2^q-1)|2^n-1,这也与2^n-1是素数矛盾,故n一定是素数.
第三个,那个什么素数新定理,我看着就蛋疼,当n=5时不是质数.
2^2^5-1=4294967297=641×6700417.
不过形如2^2^n+1这样的正多边形必定可以尺规作图,比如高斯曾经的正17边形.17=2^2^2-1.