Question

（2013•闵行区一模）设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn＝a2n+2an+1(n∈N*)

Answer 1

（1）∵4Sn＝

a2n+2an+1，

∴当n≥2时，4Sn−1＝

a2n−1+2an−1+1．

两式相减得4an＝

a2n−

a2n−1+2an−2an−1，

∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0

∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，

又4S1＝

a21+2a1+1，∴a₁=1

∴{a_n}是以a₁=1为首项，d=2为公差的等差数列．

∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；

（2）由（1）知Sn＝

(1+2n−1)n/2＝n2，

假设正整数k满足条件，

则（k²）²=[2（k+2048）-1]²

∴k²=2（k+2048）-1，

解得k=65；

（3）证明：由Sn＝n2得：Sm＝m2，Sk＝k2，Sp＝p2

于是

1

Sm+

1

Sp−

2

Sk＝

1

m2+

1

p2−

2

k2＝

k2(p2+m2)−2m2p2

m2p2k2]

∵m、k、p∈N^*，m+p=2k，

∴

k2(p2+m2)−2m2p2

m2p