u对x的一阶偏导数是f'(r)×x/r,二阶偏导数是f''(r)×(x/r)^2+f'(r)×(r-x^2/r)/r^2=f''(r)×(x/r)^2+f'(r)×(r^2-x^2)/r^3.同理,u对y的二阶偏导数是f''(r)×(y/r)^2+f'(r)×(r^2-y^2)/r^3.所以已知条件里面的微分方程化为f''(r)+f'(r)×1/r=0.
方程写作f''(r)/f'(r)=-1/r,两边积分得lnf'(r)=-lnr+lnC1,所以f'(r)=C1/r,由f'(1)=1得C1=1,所以f'(r)=1/r.两边积分得f(r)=lnr+C2,由f(1)=1得C2=1,所以f(r)=1+lnr.