方法一：
∵x^2＋y^2＝1,∴可令x＝cosu、y＝sinu,∴3x＋4y＝3cosu＋4sinu.
引入辅助角A,使cosA＝3/5、sinA＝4/5,则：
3x＋4y
＝3cosu＋4sinu＝5［（3/5）cosu＋（4/5）sinu］＝5（cosAcosu＋sinusinA）
＝5cos（A－u）.
显然有：－1≦cos（A－u）≦1,∴－5≦3x＋4y≦5,∴（3x＋4y）的取值范围是［－5,5］.
方法二：
令3x＋4y＝k,则：y＝（k－3x）/4.
∵x^2＋y^2＝1,∴x^2＋［（k－3x）/4］^2＝1,∴16x^2＋（k^2－6kx＋9x^2）＝16,
∴25x^2－6kx＋k^2－16＝0.
∵x是实数,∴（－6k）^2－4×25（k^2－16）≧0,∴9k^2－25k^2＋25×16≧0,
∴16k^2≦25×16,∴k^2≦25,∴－5≦k≦5,∴（3x＋4y）的取值范围是［－5,5］.
方法三：
令3x＋4y＝k.
将问题看成是线性规划问题.
显然,当3x＋4y＝k与x^2＋y^2＝1在第一象限相切时,k最大；在第三象限相切时,k最小.
当直线3x＋4y＝k时x^2＋y^2＝1相切时,原点到3x＋4y＝k的距离＝1,
∴｜3×0＋4×0－k｜/√（3^2＋4^2）＝1,∴｜k｜＝5,∴k＝－5,或k＝5.
∴（3x＋4y）的取值范围是［－5,5］.