Question

抛物线y 2 =4px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点．

Answer 1

（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y ²=4px．

得k ²x ²+（2k ²p-4p）x+k ²p ²=0．

△=4（k ²p-2p） ²-4k ²•k ²p ²＞0，

得0＜k ²＜1．

令A（x ₁，y ₁）、B（x ₂，y ₂），则x ₁+x ₂=-

2 k 2 p-4p

k 2 ，y ₁+y ₂=k（x ₁+x ₂+2p）=

4p

k ，

AB中点坐标为（

2P- k 2 P

k 2 ，

2p

k ）．

AB垂直平分线为y-

2p

k =-

1

k （x-

2P- k 2 P

k 2 ）．

令y=0，得x ₀=

k 2 P+2P

k 2 =p+

2P

k 2 ．

由上可知0＜k ²＜1，∴x ₀＞p+2p=3p．

∴x ₀＞3p．

（2）∵l的斜率依次为p，p ²，p ³，时，AB中垂线与x轴交点依次为N ₁，N ₂，N ₃，（0＜p＜1）．

∴点N _n的坐标为（p+

2

p 2n-1 ，0）．

|N _nN _n+1|=|（p+

2

p 2n-1 ）-（p+

2

p 2n+1 ）|=

2(1- p 2 )

p 2n+1 ，

1

| N n N n+1 | =

p 2n+1

2(1- p 2 ) ，

所求的值为

1

2(1- p 2 ) [p ³+p ⁴++p ²¹]=

p 3 (1- p 19 )

2 (1-p) 2 (1+p) ．