Question

已知a、b是两个不相等的正数，且满足a3-b3=a2-b2，求所有可能的整数c，使c=9a•b．

Answer 1

解题思路：根据题意及立方差公式的展开形式可得出a²+ab+b²=a+b的值，然后可求出ab与a+b的关系式，结合基本不等式即可得出答案．

∵a³-b³=a²-b²，

∴（a-b）（a²+ab+b²）=（a-b）（a+b）

∵a，b为不相等的两正数

∴a²+ab+b²=a+b，

∴（a+b）²-（a+b）=ab，

又0＜ab＜

(a+b)2

4，

∴0＜（a+b）²-（a+b）＜

(a+b)2

4，

解得，1＜a+b＜[4/3]，

令t=a+b，则（a+b）²-（a+b）=t²-t．

∵y=t²-t的图象是开口朝上，且以直线t=[1/2]为对称轴的抛物线，

故y=t²-t在（1，[4/3]）上递增，

故t²-t∈（0，[4/9]），

即ab=（a+b）²-（a+b）∈（0，[4/9]），

∴c=9a•b∈（0，4），

故满足条件的整数c∈{1，2，3}

点评：

本题考点： 进行简单的合情推理．

考点点评： 本题考查基本不等式、立方公式的应用，难度不大，注意掌握立方公式的特点结合完全平方式是解答本题的关键．