Question

已知函数g(x)= +lnx在[1，+∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，f(x)=mx- -lnx(m∈R)，

Answer 1

（1）由题意：

在[1，+∞)上恒成立，即

，

∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，

故xsinθ-1≥0在[1，+∞)上恒成立，只需sinθ-1≥0，即sinθ≥1，

只有sinθ=1，结合θ∈（0，π），得

；

（2）由（1），得f(x)-g(x)=mx-

，

，

由于f(x)-g(x)在其定义域内为单调函数，

则

或者

在[1，+∞)上恒成立，

即

或者

在[1，+∞)上恒成立，

故m≥1或者m≤0，

综上，m的取值范围是

；

（3）构造函数F(x)=f(x)-g(x)-h(x)，

，

当m≤0时，由x∈[1，e]得，

，

所以在[1，e]上不存在一个x ₀，使得

；

当m＞0时，

，

因为x∈[1，e]，

，所以（F（x））′＞0在[1，+∞)上恒成立，

故F(x)在x∈[1，e]上单调递增，

，只要

，解得

，

故m的取值范围是

。