求证1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=13n(n+1)(n+2).

2个回答

  • 解题思路:本题考查的知识点是数学归纳法,要证明

    1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=

    1

    3

    n(n+1)(n+2)

    成立,我们要先证明n=1时,等式成立,再假设n=k时,等式成立,进而求证n=k+1时,等式成立.

    证明:①当n=1时,左边=2,右边=[1/3×1×2×3=2,等式成立;

    ②假设当n=k时,等式成立,

    即1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)=

    1

    3k(k+1)(k+2)

    则当n=k+1时,

    左边=

    1

    3k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(

    1

    3]k+1)=[1/3](k+1)(k+2)(k+3)

    即n=k+1时,等式也成立.

    所以1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=

    1

    3n(n+1)(n+2)对任意正整数都成立.

    点评:

    本题考点: 数学归纳法.

    考点点评: 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质,其步骤为:设P(n)是关于自然数n的命题,若 P(n)在n=1时成立; 在P(k)(k为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立,则P(n)对一切自然数n都成立.