解题思路:本题考查的知识点是数学归纳法,要证明
1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=
1
3
n(n+1)(n+2)
成立,我们要先证明n=1时,等式成立,再假设n=k时,等式成立,进而求证n=k+1时,等式成立.
证明:①当n=1时,左边=2,右边=[1/3×1×2×3=2,等式成立;
②假设当n=k时,等式成立,
即1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)=
1
3k(k+1)(k+2)
则当n=k+1时,
左边=
1
3k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(
1
3]k+1)=[1/3](k+1)(k+2)(k+3)
即n=k+1时,等式也成立.
所以1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=
1
3n(n+1)(n+2)对任意正整数都成立.
点评:
本题考点: 数学归纳法.
考点点评: 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质,其步骤为:设P(n)是关于自然数n的命题,若 P(n)在n=1时成立; 在P(k)(k为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立,则P(n)对一切自然数n都成立.