Question

正三棱柱的棱长都为2,E,F,G分别是AB AA1 A1C1 的中点,则B1F与面GEF所成的角的正弦值为?

Answer 1

取A1B1中点M,连结EM,则EM‖AA1,EM⊥平面ABC,GM=B1C1/2=1,A1G==A1F=1,FG=√2,FE=√2,GE=√（GM^2+ME^2)=√5,在平面EFG上作FN⊥GE,三角形GFE是等腰三角形,FN=√3/2,S△GEF=GE*FN/2=√15/4,S△EFB1=S正方形ABB1A1-S△A1B1F-S△BB1E-S△AFE=7/4,作GH⊥A1B1,GH=（√3/2）*2/2=√3/2,V三棱锥G-FEB1=S△EFB1*GH/3=7√3/24,设B1至平面EFG距离为h,V三棱锥B1-EFG=S△GEF*h/3=h√15/12,h√15/12=7√3/24,h=7√5/10,B1F=√5,设B1F与平面GEF成角为θ,sinθ=h/B1F=(7√5/10)/√5=7/10,B1F与面GEF所成的角的正弦值为7/10. 不知是否学空间向量,用它解问题较简单.