一.
（1）见解析 （2）
试题分析：（1）证明：∵沿直线MN对折,使A、C重合
∴A与C关于直线MN对称,
∴AC⊥MN,
∴∠COM=90°．
在矩形ABCD中,∠B=90°,
∴∠COM=∠B,
又∵∠ACB=∠ACB,
∴△COM∽△CBA；
∵在Rt△CBA中,AB=6,BC=8,
∴AC=10,
∴OC=5,
∵△COM∽△CBA,
∴,
∴OM=．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质,解题的关键是仔细分析并找到相等的角来证得相似三角形．
二.
(1)证明：∵OC⊥PD
∴∠OCP＝90°
∵BD⊥PD
∴∠BDP＝90°
∴∠OCP=∠BDP（内错角相等）
OC∥BD
∴∠DBC＝∠OCB
∵OC＝OB
∴∠OCB＝∠OBC
∠OBC＝∠DBC(等量代换）
∴BC平分∠PBD
(2) 连接AC
∵∠ABC＝∠DBC
∠ACB＝∠CDB＝90°
∴△ACB∽△CDB
BC比AB＝BD比BC （对不起,不会打比号.就是一条横线）
∴BC²＝AB`BD
(3)设OC＝OA＝X
∵在Rt△OCP中
∴OC²+PC²＝PD²
∵PO=PA+AD=6+X
∴X²+（6根号2）²=（6+X）²
X²+72=36+12X+X²
X=3
∴AB=2OA=6
PB=6+6=12
∵∠P=∠P ∠PCO=∠D=90°
∴△PCO∽△PDB
∴OP比OC=PB比BD
9比3=12比BD
∴BD=4