Question

在△ABC中，∠ACB-∠B=90°，∠BAC的角平分线交BC于E，△BAC的外角平分线交BC于F，证明：AE=AF．

Answer 1

解题思路：由AE平分∠BAC，AF是△BAC的外角的平分线得到∠EAF=∠EAC+∠CAF=[1/2]（∠BAC+∠CAD）=90°，然后根据三角形的内角和与三角形外角的性质即可得到∠AFE=45°，进而得到AE=AF．

证明：∵AE平分∠BAC，AF是△BAC的外角的平分线，

∴∠EAF=∠EAC+∠CAF=[1/2]（∠BAC+∠CAD）=90°，

∴△EAF是直角三角形，

∵∠ACB-∠B=90°，

∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B=180°-（90°+∠B）-∠B=90°-2∠B，

∴∠BAE=[1/2]∠BAC=45°-∠B，

∴∠AEC=∠BAE+∠B=45°，

∴∠AFE=45°，

∴∠AEC=∠AFE，

∴AE=AF．

点评：

本题考点： 等腰直角三角形．

考点点评： 考查了三角形的外角平分线的性质和等腰直角三角形的性质，关键是结合图形进行角的关系的推理．