2倍的根号二.最简单的方法就是猜测再验算.具体过程如下：
声明一下,鉴于本人的画图能力问题,图我就不画了,你按照我说的在纸上做出来就好了.
设CC₁=2x.延长B₁M和BC交于点D,连接AD .取BC 中点E,连接AE、B₁E,作EF垂直B₁D于点F,连接AF.
由于二面角A-MB₁-C为45°,所以AE=EF=根号3,AF=3.
有由于二面角A-MB₁-C为45°,所以△B₁AD与△B₁ED的面积比为根号2.
△B₁AD的面积为：（1/2）AF乘以[（2x）^2+4^2]的平方根
△B₁ED的面积为：（1/2）EF乘以（1/2）*3*2x
下面做个方程就可以了.自己动手吧还是