解题思路：（1）利用奇函数的性质f（-x）+f（x）=0即可解得；
（2）由（1）可得：y=
lo
g
a
x+1
x−1
，化为指数式，先用x表示y，再把x与y互换即可得出f-1（x）．
（3）先判断函数y=[x+1/x−1]在其定义域上的单调性，通过对a分类讨论，再利用复合函数的单调性的判断方法“同增异减”的法则即可得出f（x）的单调性；
（4）由于1＜x＜a-2，解得a＞3，由（3）可知f（x）在（1，a-2）上单调递减．可得f（a-2）=1，解出即可．
（1）∵函数f（x）是奇函数，
∴f(−x)+f(x)＝loga
1+mx
−x−1+loga
1−mx
x−1＝loga
1−m2x2
1−x2＝0，对定义域内的任意x恒成立，
∴
1−m2x2
1−x2＝1，即(m2−1)x2＝0．
解得m=±1，经检验m=-1成立．
（2）由（1）可得：y=loga
x+1
x−1，由[x+1/x−1＞0，解得x＞1或x＜-1．
∴函数f（x）的定义域为{x|x＞1或x＜-1}．
由y=loga
x+1
x−1]，化为ay＝
x+1
x−1，解得x＝
ay+1
ay−1（y≠0），
∴f−1(x)＝
ax+1
ax−1(x≠0，a＞0，a≠1)．
（3）由（2）可知函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
设g(x)＝
x+1
x−1，任取x1＜x2＜−1或1＜x1＜x2，
∵g(x1)−g(x2)＝
2(x2−x1)
(x1−1)(x2−1)＞0，
∴g（x1）＞g（x2），
∴函数g(x)＝
x+1
x−1在(−∞，−1)或(1，+∞)上单调递减，
∴当a＞1时，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递减，
当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增．
（4）∵1＜x＜a-2，
∴a＞3，
由（3）可知f（x）在（1，a-2）上单调递减．
∴f(a−2)＝1，即loga
a−1
a−2＝1，化简得a2−4a+1＝0，
解得a＝2+
点评：
本题考点： 反函数；函数的值域；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、复合函数的单调性的判断方法“同增异减”的法则、分类讨论、反函数的求法等基础知识与基本方法，属于难题．