Question

已知函数f（x）=x2+（2+lga）x+lgb，f（-1）=-2当x∈R时，f（x）≥2x恒成立．

Answer 1

解题思路：（1）x²+xlga+lgb≥0对于任意x∈R恒成立，利用判别式及f（-1）=-2，即可求得a，b的值．

（2）由（1）可得 函数f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3，分当t+1≤-2时、当 t＜-2＜t+1时、当-2≤t＜0时三种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最小值．

由题意可得f（-1）=-2，即 1-lga-2+lgb=-2，

∴lgb=lga-1．

∵对于任意x∈R，f（x）≥2x 成立，

∴x²+xlga+lgb≥0对于任意x∈R恒成立，

∴x²+xlga+lga-1≥0对于任意x∈R恒成立，

∴△=（lga）²-4（lga-1）=（lga-2）²≤0，

∴lga=2，

∴a=100．

∵lgb=lga-1，

∴lgb=1，∴b=10．

（2）由（1）可得 函数f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3，当t+1≤-2时，即t≤-3 时，

函数f（x）在[t，t+1]上是减函数，

f（x）_min=f（t+1）=t²+6t+6，

当 t＜-2＜t+1时，即-3＜t＜-2时，

（x）_min=f（-2）=-3．

当-2≤t＜0时，函数f（x）在[t，t+1]上是增函数，

f（x）_min=f（t）=t²+4t+1．

点评：

本题考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题主要考查函数的恒成立问题，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．