解题思路：假设红色珠子有1颗，则白色珠子的颗数是7颗，黑色珠子为9颗；如果红色珠子有2颗，则白色珠子的颗数是14颗，黑色珠子为2颗；如果红色珠子有3颗，则白色珠子的颗数是21颗，超出了盒子里有黑、白、红三色的珠子17颗的总数．因此得解．
采用试探法，假设红色珠子有1颗，则白色珠子的颗数是7颗，黑色珠子为9颗；
如果红色珠子有2颗，则白色珠子的颗数是14颗，黑色珠子为2颗；
如果红色珠子有3颗，则白色珠子的颗数是21颗，超出了盒子里有黑、白、红三色的珠子17颗的总数．
答：盒子里最多有2颗红珠子．
故答案为：2．
点评：
本题考点： 最大与最小．
考点点评： 此题考查了最大与最小，数量有限，可以采用试探法来求解．