如图,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′(此时,点B′落在对角线AC上,点A′落在CD

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  • 解题思路:(1)根据正方形的性质可得AD=CD,∠ADC=90°,∠EA′D=45°,则∠A′DE=90°,再计算出∠A′ED=45°,根据等角对等边可得A′D=ED,即可利用SAS证明△ADA′≌△CDE;

    (2)首先由AC=A′C,可得点C在AA′的垂直平分线上;再证明△AEB′≌△A′ED,可得AE=A′E,进而得到点E也在AA′的垂直平分线上,再根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA′的垂直平分线.

    证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,

    ∴AD=CD,∠ADC=90°,

    ∴∠A′DE=90°,

    根据旋转的方法可得:∠EA′D=45°,

    ∴∠A′ED=45°,

    ∴A′D=DE,

    在△AA′D和△CED中

    AD=CD

    ∠ADA′=∠EDC

    A′D=ED,

    ∴△AA′D≌△CDE(SAS);

    (2)∵根据旋转性质以及(1)可得:AC=A′C,∠ACE=∠A′CE,

    ∴点C在AA′的垂直平分线上,

    ∵AC是正方形ABCD的对角线,

    ∴∠CAE=45°,

    ∵AC=A′C,CD=CB′,

    ∴AB′=A′D,

    在△AEB′和△A′ED中

    ∠EAB′=∠EA′D

    ∠AEB′=∠A′ED

    AB′=A′D,

    ∴△AEB′≌△A′ED(AAS),

    ∴AE=A′E,

    ∴点E也在AA′的垂直平分线上,

    ∴直线CE是线段AA′的垂直平分线.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;正方形的性质;旋转的性质.

    考点点评: 此题主要考查了正方形的性质,以及旋转的性质,关键是熟练掌握正方形的性质:正方形的四条边都相等,四个角都是直角;正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;找准旋转后相等的线段.