证明:当a是奇数时,a(a2-1)能被24整除.

1个回答

  • 解题思路:设a=2n-1,从而转化为n(n-1)(2n-1)能被6整除,然后分步证明n(n-1)(2n-1)能被2整除也能被3整除即可.

    证明:设a=2n-1,则a(a2-1)=(2n-1)(2n-2)2n,

    a(a2-1)

    24=

    (2n-1)(n-1)n

    6,

    ∴只需证明n(n-1)(2n-1)能被6整除即可,

    ∵n和n-1必是一奇一偶,

    ∴n(n-1)必能被2整除,

    设n=3k,则n能被3整除,

    设n=3k+1,则n-1能被3整除,

    设n=3k+2,则2n-1=6k+4-1=6k+3能被3整除,

    所以n(n-1)(2n-1)能被3整除,

    ∴n(n-1)(2n-1)能被6整除.

    综上证明可得a(a2-1)能被24整除.

    点评:

    本题考点: 数的整除性

    考点点评: 本题考查数的整除性问题,难度较大,关键是分步证明,这种思想在证明整除的时候经常用到,注意理解并熟练掌握.