Question

若A为m*n矩阵,A^TA=0证明A=0

Answer 1

A=(aij) 应该是实矩阵

证明:由转置矩阵的定义及矩阵的乘法可知,

A 的第i列的元素为 a1i,a2i,...,ani

A^T的第i行的元素为 a1i,a2i,...,ani

所以,A^TA第i行第i列的元素为 a1i^2+a2i^2+...+ani^2

由A^TA=0 知 a1i^2+a2i^2+...+ani^2 = 0.

所以 a1i=a2i=...=ani=0.

即A的第i列的元素全为0.

i=1,2,...,n

所以A=0.