Question

已知多项式f(x)=x^3+ix^2+(1-i)x-10-2i 有实根,试求f(x)的全部根

Answer 1

f(x)有实根,设x∈R

x^3+ix^2+(1-i)x-10-2i =0

x^3+x-10+(x^2-x-2)i=0

令 x^2-x-2＝0,x=2,x=-1

检验后知,x=2是方程的一个实根

原方程可变形为 (x-2)(x^2+2x+5)+(x-2)(x+1)i=0

除去实根后,方程变形为

x^2+(2+i)x+5+i=0

△=(2+i)^2-4(5+i)=3+4i-20-4i=-17=(i√17)^2

x=(-2-i±i√17)/2

f(x)的全部根是2,[-2+(√17-1)i]/2,[-2-(√17+1)i]/2