解题思路:(1)因为一次函数过(4,m)求m,再把求出的交点坐标代入反比例函数中求k;
(2)求交点问题,就是解联立而成的方程组得关于k的一元二次方程,运用根与系数关系解答;
(3)根据交点A、B的位置判断.
(1)∵一次函数和反比例函数的图象交于点(4,m),∴有
m=−4k+8
m=
k
4,
解之得
m=4
k=16,
∴m=4,k=16;
(2)若两个函数相交,则交点坐标满足方程组
y=
k
x(k≠0)
y=−x+8,
∴-x+8=[k/x],
即x2-8x+k=0,
要使两个函数有两个不同的交点,则方程应有两个不相同的根,
也就是△>0,
即(-8)2-4×1×k=64-4k>0,
∴k<16,
∴要使两个函数图象有两个不同交点,k应满足k<16且k≠0;
(3)当0<k<16时,y=[k/x]的图象在第一、三象限,它与y=-x+8的两个交点都在第一象限内,这时∠AOB是锐角;
当k<0时,y=[k/x]的图象在第二、四象限,它与y=-x+8的两个交点分别在第二、四象限,此时∠AOB是钝角.
点评:
本题考点: 反比例函数综合题.
考点点评: 此题主要考查了反比例函数的图象和性质,也考查了方程组的解和图象交点坐标的关系.此题将函数与方程联系起来分类讨论,检查学生的综合知识水平.