Question

设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log2x]=3，若x0是方程f（

Answer 1

解题思路：根据条件设f（x）-log₂x=t，然后求出t的值，进而求出函数f（x）的表达式，根据函数零点的判定条件即可得到结论．

设f（x）-log₂x=t，则f（x）=log₂x+t，且f（t）=3，

当x=t时，f（t）=log₂t+t=3，解得t=2，

∴f（x）=log₂x+2，f′（x）=[1/xln2]，

则由f（x）-f′（x）=2得log₂x+2-[1/xln2]=2，

即log₂x-[1/xln2]=0，

设g（x）=log₂x-[1/xln2]，则g（1）=-

1

ln2＜0，g（2）=1-

1

2ln2＞0，

∴根据根的存在性定理可知在（1，2）内g（x）存在零点，

即x₀∈（1，2），

故选：B．

点评：

本题考点： 导数的运算；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题主要考查函数零点区间的判断，根据函数的性质求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键，综合性较强．