Question

已知f（x）=lnx，g(x)＝x+ax（a∈R）．

Answer 1

解题思路：（1）先求

F(x)＝f(x)−g(x)＝lnx−x−

a

x

(x＞0)

，求导函数

F

′

(x)＝

1

x

−1+

a

x

2

＝

−

x

2

+x+a

x

2

，分类讨论即可求出函数的单调区间．

（2）x≥1时，

lnx≤x+

a

x

恒成立，等价于a≥[xlnx-x²]_max，构造新的函数k（x）=xlnx-x²造．求出函数的最大值即可求出a的取值范围．

（3）方法一：由（2）可知当a=-1时，x≥1时，

lnx≤x−

1

x

恒成立所以n∈N^*，n≥2时，有

lnn＜n−

1

n

⇒

lnn

n+1

＜

n−1

n

，进而可证．

方法二：利用数学归纳法证明．当n=2时，显然成立．假设n=k（n∈N^*，n≥2）成立，即[ln2/3