Question

如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，直线MN⊥AB于A，且分别与⊙O1，⊙O2交于M、N，P为线段MN的中点，又∠

Answer 1

解题思路：连接MQ₁、BQ₁、BQ₂、NQ₂，过点P作PH⊥Q₁B于H，利用圆内接四边形的性质和圆周角定理可证到_^Q1、B、Q₂三点共线，MQ₁∥NQ₂，进而可证到MQ₁∥PH∥NQ₂，然后根据平行线分线段成比例可得H为线段Q₁Q₂的中点，然后利用线段垂直平分线的性质就可证到结论．

连接MQ₁、BQ₁、BQ₂、NQ₂，过点P作PH⊥Q₁B于H，如图所示．

则由圆内接四边形的性质可得：

∠Q₁MA+∠ABQ₁=180°，∠ABQ₂+∠ANQ₂=180°，∠MAB=∠BQ₂N．

由圆周角定理可得：

∠ABQ₁=[1/2]∠AO₁Q₁，∠ANQ₂=[1/2]∠AO₂Q₂．

∵∠AO₁Q₁=∠AO₂Q₂，

∴∠ABQ₁=∠ANQ₂，

∴∠ABQ₂+∠ABQ₁=∠ABQ₂+∠ANQ₂=180°，

∴Q₁、B、Q₂三点共线．

由圆内接四边形的性质可得：∠ABQ₁=∠ANQ₂，

∴∠Q₁MA+∠ANQ₂=∠Q₁MA+∠ABQ₁=180°，

∴MQ₁∥NQ₂．

∵AB⊥MN，

∴∠MAB=90°，

∴∠Q₁Q₂N=∠MAB=90°．

∵PH⊥Q₁B，即∠Q₁HP=90°，

∴∠Q₁HP=∠Q₁Q₂N，

∴PH∥NQ₂，

∴MQ₁∥PH∥NQ₂．

∵P为线段MN的中点，

∴H为线段Q₁Q₂的中点，

∴PH垂直平分Q₁Q₂，

∴PQ₁=PQ₂．

点评：

本题考点： 四点共圆；线段垂直平分线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；平行线分线段成比例．

考点点评： 本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线分线段成比例、线段垂直平分线的性质等知识，利用平行线分线段成比例是解决本题的关键，需要注意的是：只有证到Q1、B、Q2三点共线后，才能运用平行线分线段成比例．