Question

选修4-1：几何证明选讲如图，以AB为直径的⊙O上有一点C，过点C作⊙O的切线与AB延长线交于点P，AD⊥PC交PC的延

Answer 1

解题思路：（1）先根据PC与圆O相切于C点证得△APC∽△CPB，推出PB：PC=BC：AC；再结合∠ACB=90°以及AD⊥PC于D得到Rt△ACD∽Rt△ABC，进而得DC：AD=BC：AC，联立即可证明结论．

（2）先在△ABC中求出AC，再根据△ACD∽△ABC求出DC以及AD，再结合切割线定理即可求出结论．

（1）证明：

∵PC与圆O相切于C点，

∴∠CAB=∠PCB

∴△APC∽△CPB．

∴PB：PC=BC：AC．

又∵∠ACB=90°，

∴∠PCB+∠DCA=90°，

∵AD⊥PC于D

∴∠DAC+∠DCA=90°，

∴∠DAC=∠CAB．

∴Rt△ACD∽Rt△ABC，

∴DC：AD=BC：AC．

∴PB：PC=DC：AD．

（2）在△ABC中，AB=6，BC=3，

∴AC=3

3．

由△ACD∽△ABC，以及AD⊥PC于D

∴DC=

3

3

2，AD=[9/2]．

又由切割线定理得：DC²=AD•DE．

即[27/4]=[9/2]×（[9/2]-AE）

∴AE=3．

点评：

本题考点： 与圆有关的比例线段；弦切角．

考点点评： 本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．是对基础知识的综合考查．