已知函数f(x)=sinxcosx+cos2x−12.

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  • 解题思路:(Ⅰ)f(x)解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简后,再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出ω的值,即可确定出函数的最小正周期;(Ⅱ)由x的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的图象与性质即可求出f(x)的最小值与最大值.

    (Ⅰ)由已知,得f(x)=[1/2]sin2x+[1/2]cos2x=

    2

    2sin(2x+[π/4]),

    ∵ω=2,∴T=π,

    则f(x)的最小正周期为π;

    (Ⅱ)∵-[π/8]≤x≤[π/2],∴0≤2x+[π/4]≤[5π/4],

    则当2x+[π/4]=[π/2]时,即x=[π/8]时,f(x)取得最大值

    2

    2;

    当2x+[π/4]=[5π/4]时,即x=[π/2]时,f(x)取得最小值-[1/2].

    点评:

    本题考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域.

    考点点评: 此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,正弦函数的图象与性质,熟练掌握公式是解本题的关键.