Question

若a1＞0，a1≠1，an+1=2an1+an（n=1，2，…）

Answer 1

解题思路：（1）采用反证法证明，先假设两种相等，代入已知的等式中即可求出a_n的值为常数0或1，进而得到此数列为是0或1的常数列，与已知a₁＞0，a₁≠1矛盾，所以假设错误，两种不相等；

（2）把n=1及a₁=[1/2]代入已知的等式即可求出a₂的值，把n=2及a₂的值代入已知的等式即可求出a₃的值，把n=3及a₃的值代入已知等式即可求出a₄的值，把n=4及a₄的值代入已知的等式即可求出a₅的值，然后把求出的五项的值变形后，即可归纳总结得到这个数列的通项公式a_n．

（1）证明：若a_n+1=a_n，

即

2an

1+an=a_n，解得a_n=0或1．

从而a_n=a_n-1=…a₂=a₁=0或1，与题设a₁＞0，a₁≠1相矛盾，

故a_n+1≠a_n成立．

（2）由a₁=[1/2]，得到a₂=

2×

1

2

1+

1

2=[2/3]=

22−1

22−1+1，

a₃=

2×

2

3

1+

2

3=[4/5]=

23−1

23−1+1，

a₄=

2×

4

5

1+

4

5=[8/9]=

24−1

24−1+1，

a₅=

2×

8

9

1+

8

9=[16/17]=

25−1

25−1+1，

…，

则a_n=

2n−1

2n−1+1（n∈N^*）．

点评：

本题考点： 数列递推式；归纳推理．

考点点评： 此题考查学生会利用反证法对命题进行证明的能力，会根据一组数据的特点归纳总结得出一般性的规律，是一道中档题．